La ingeniería del pensamiento deductivo

El objeto de estudio de las matemáticas es un mundo inteligible, aunque no físico. Es un mundo muy peculiar, porque no te chocas con las derivadas y las integrales cuando das la vuelta a la esquina, sino que están únicamente en nuestras cabezas.

Aún antes de hacer matemáticas por el propio gusto de hacerlas, nacen de la necesidad de ampliar el conjunto de herramientas con la que podemos razonar. A la hora de medir terrenos agrícolas, construir pirámides o predecir eclipses, las reglas lógicas cableadas en el cerebro y con las que los humanos razonamos sin necesidad siquiera de conocerlas, se quedan cojas y necesitan de una ampliación que faciliten la navegación por el mundo de lo numérico.

Solo después de haber inventado las matemáticas para sacarle utilidad, los matemáticos se empiezan a dar cuenta de que este mundo es tan rico que merece la pena estudiarse por sí mismo.

Y las matemáticas no se quedan solo en lo numérico. Un grupo de permutaciones, por ejemplo, no es un número, ni lo es un grafo, ni un conjunto. Las matemáticas amplían su campo de estudio más allá de lo numérico.

¿Entonces qué es lo matemático, cual es ese objeto de estudio que resulta tan elusivo? Yo diría que las matemáticas estudian todo aquello que es resultado de razonamiento deductivo.

De hecho el método matemático avala esta definición de las matemáticas. El método consiste en empezar con cualesquiera axiomas y obtener todos los teoremas que se puedan obtener por deducción a partir de los primeros. Así que matemáticas puede ser cualquier cosa que se obtenga por deducción a partir de unos axiomas.

Esto no quiere decir que el método deductivo sea el único con el que se puede trabajar en matemáticas. La inducción es importantísima, y no me estoy refiriendo al axioma de inducción que se utiliza en demostraciones, sino a la generalización y obtención de conjeturas a partir de un cierto número de casos particulares. Pero la inducción es solo un método de trabajo, mientras que la deducción es quien tiene la última palabra. La conjetura es culpable hasta que no se demuestre rigurosamente lo contrario. Solo después puede pasar una prueba sin concesiones puede llegar a ser un teorema.

Volviendo a darle vueltas al objeto de la matemática, no deja de maravillarme, cuando pienso en ello, que un mundo tan rico exista solo en nuestras cabezas y no sea un mero reflejo de lo que hay fuera de ella (¿Alguien piensa que los números transfinitos, más allá de los dos primeros, están por ahí fuera?).

Las matemáticas comparten con la ingeniería en que son ciencias de lo artificial, de aquello que no existe antes de que sea concebido.

Quiero subrayar que al igual que en ingeniería hay unas máquinas que se diseñan, bien sea por su utilidad o por su belleza, y otras que no, en matemáticas también hay una selección arbitraria del campo de estudio. Las combinaciones de axiomas posibles son infinitas, pero solo unas pocas se escogen y desarrollan para ver a qué teoremas dan lugar. Qué combinaciones de axiomas se estudian y cuales no dependen del gusto de los matemáticos o de las necesidades que impone una determinada aplicación.

Las ciencias naturales imponen su tema de estudio por su simple presencia física. La gravedad nos ata al suelo o los microbios nos hacen enfermar, pero las matemáticas aparecen a partir de una construcción mental que no estaba antes, pero una vez que aparece en nuestras cabezas nos maravilla y nos empuja a continuar su estudio.

No hay que olvidar que, como toda ingeniería, las matemáticas son útiles. Nacen por su utilidad, porque el pensamiento deductivo necesita de toda una batería especial de instrumentos para avanzar, y se han convertido en tan importantes para toda ciencia e ingeniería humanas que ni siquiera se piensa en ello. Pero sin matemáticas no se puede pasar de una ciencia y una tecnología primitivas.

La razón es obvia una vez que uno piensa en ello. El instrumento de la inteligencia es el pensamiento y las matemáticas es la ingeniería del pensamiento deductivo. Sin deducción, la pata del empirismo inductivo no se sostiene sola.

A veces se nos olvida que las matemáticas es una ciencia de lo artificial porque su estudio se persigue sin buscar una utilidad, y la verdad es que es una ingeniería un poco extraña. Las matemáticas puras son como la construcción de bellas maquinarias por la simple belleza de su mecanismo.

Predicción y Bolsa

La paradoja de la predicción que se muerde la cola nos enseña que si tienes información para adivinar sucesos del futuro, mejor te guardas esa información para ti, porque si la haces pública los demás responderán a esa información e invalidarán tu predicción.

La moraleja es automáticamente aplicable a la Bolsa, y en general a cualquier mercado que dependa de las expectativas del futuro.

Hay gente que piensa que la cotización de las acciones de empresas que operan en Bolsa, como todo sistema estadístico, sigue unas leyes matemáticas que son en principio susceptibles de ser analizadas y encontradas. No digo que no, y sería una buena manera de hacerse rico con las matemáticas. Casi cualquier predicción correcta que se haga sobre la bolsa se puede utilizar para hacer dinero.

Pero quien quiera hacerse rico con la bolsa y las matemáticas ha de guardarse mucho de hacer público cualquier conocimiento que consiga. Si tiene credibilidad habrá otros inversores y especuladores _arbitristas es la palabra correcta_, que aprovecharán ese conocimiento para hacer dinero. Sacarán dinero de la mina hasta agotarla, es decir, hasta que las cotizaciones hayan cambiado tanto que la predicción realizada ya no se cumpla y no se pueda hacer dinero con ese conocimiento.

Como en el caso de la paradoja anterior, hacer pública una predicción puede anularla, porque los demás actores cambian su comportamiento de acuerdo con la predicción.

La predicción que se muerde la cola

Una vieja parábola árabe del siglo IX señala la imposibilidad de escapar al propio destino:

El discípulo de un sufí de Bagdad estaba un día sentado en un rincón de una posada, cuando oyó hablar a dos personajes. Por lo que decían, se dio cuenta de que uno de ellos era el Ángel de la Muerte.

“Tengo varias visitas que hacer en esta ciudad durante las próximas tres semanas”, le decía el Ángel a su compañero.

Aterrorizado, el discípulo se escondió hasta que ambos hubieron partido. Para escapar a la Muerte, alquiló el caballo más veloz disponible y lo espoleó día y noche en dirección a la lejana ciudad de Samarcanda.

Mientras tanto la Muerte se encontró con el maestro sufí y hablaron sobre diversas personas. “¿Y dónde está tu discípulo tal y tal?” preguntó la Muerte.

“Debe de estar en algún lugar de esta ciudad, empleando su tiempo en contemplación, quizás en una posada”, dijo el maestro.

“Qué extraño”, dijo el Ángel, “pues se halla en mi lista. Sí, aquí está: tengo que recogerlo dentro de cuatro semanas nada menos que en Samarcanda”.

Me ha venido el cuento a la cabeza a partir de una paradoja, en la que no es precisamente el pobre mortal el que pierde la partida. Aparentemente, y luego veremos que no es así, la paradoja pone limitaciones a un ser que sea capaz de conocer o predecir el futuro. El protagonista de la paradoja es un ente con tales características, que bien puede ser un ser divino y omnisciente, si nos interesan las implicaciones teológicas, o bien, en un universo materialista y determinista, un ser o una máquina que conozca todas las leyes de la naturaleza y sea capaz de utilizar ese conocimiento para calcular el futuro a partir de las condiciones iniciales.

Voy a aprovecharme del relato sufí y exponer la paradoja en un escenario similar.

Las reglas del juego en este caso son las siguientes. El Ángel de la Muerte es el protagonista del que hablaba capaz de conocer el futuro con toda precisión. Como en el cuento, la Muerte considera que ha llegado la hora del discípulo sufí y utilizará sus capacidades de predicción para presentarse en la ciudad en la que estará el pobre diablo. Pero le dará una oportunidad al discípulo y cuatro semanas antes le anunciará con total sinceridad la ciudad a la que irá a buscarle. El discípulo morirá si al cabo del plazo marcado coincide con el Ángel en la misma ciudad y se salvará en caso contrario. Supondremos que el discípulo no tiene ninguna dificultad para escuchar la ciudad previamente anunciada, ni para cambiar de ciudad si así lo desea.

¿Morirá o se salvará el discípulo? No está nada claro. Si el Ángel puede conocer el futuro a la perfección no debería tener ninguna dificultad en saber la ciudad en la que estará el discípulo y anunciarlo. Pero si lo anuncia el discípulo intentará evitar el destino fatal y se trasladará a una ciudad diferente de la anunciada.

Los que creen en el libre albedrío podrían buscar en éste una salida a la paradoja. Pueden pensar por ejemplo que la elección del discípulo, dotado de libre albedrío, no está predeterminada y, ni un Dios omnisciente, ni un científico que conozca exactamente el comportamiento de un universo determinista, pueden saber por anticipado cual es la ciudad a la que se dirigirá el discípulo. Esta salida pondría limitaciones a la capacidad de predicción de un ser físico o espiritual.

Sin embargo el libre albedrío no es una solución a esta paradoja porque la misma se plantea en los mismos términos aunque la elección la tenga que hacer una máquina.

Supongamos que preparamos un programa de ordenador al que se le suministra una cadena de entrada y que produce otra de salida. Tanto para la entrada como para la salida habrá dos opciones. Si la entrada es “Bagdad” la salida será “Samarcanda” y viceversa. Este programa tan simple es una simulación de la decisión que tomaría el discípulo sufí si aprecia su vida.

Como el programa es simple, hasta nosotros somos capaces de predecir exactamente su comportamiento. Sin embargo de ningún modo lograremos a la vez “anunciarle” al ordenador la salida que esperamos y acertar con la salida que producirá.

Sencillamente es imposible lógico predecir una acción y anunciar esa acción a una persona o máquina cuyo comportamiento consiste en actuar de un modo contrario al que hemos anunciado.

De la paradoja no se extraen limitaciones sobre la posibilidad de que un ente sea capaz de conocer o predecir el futuro, simplemente el supuesto de la paradoja pedía un imposible. No se puede pedir, ni siquiera a Dios, que construya un círculo cuadrado o que encuentre una fracción que multiplicada por sí misma sea igual a dos.

Si el lector le ha cogido gusto a pensar en términos de paradojas puede probar con la paradoja de Newcomb.