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La ingeniería del pensamiento deductivo

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El objeto de estudio de las matemáticas es un mundo inteligible, aunque no físico. Es un mundo muy peculiar, porque no te chocas con las derivadas y las integrales cuando das la vuelta a la esquina, sino que están únicamente en nuestras cabezas.

Aún antes de hacer matemáticas por el propio gusto de hacerlas, nacen de la necesidad de ampliar el conjunto de herramientas con la que podemos razonar. A la hora de medir terrenos agrícolas, construir pirámides o predecir eclipses, las reglas lógicas cableadas en el cerebro y con las que los humanos razonamos sin necesidad siquiera de conocerlas, se quedan cojas y necesitan de una ampliación que faciliten la navegación por el mundo de lo numérico.

Solo después de haber inventado las matemáticas para sacarle utilidad, los matemáticos se empiezan a dar cuenta de que este mundo es tan rico que merece la pena estudiarse por sí mismo.

Y las matemáticas no se quedan solo en lo numérico. Un grupo de permutaciones, por ejemplo, no es un número, ni lo es un grafo, ni un conjunto. Las matemáticas amplían su campo de estudio más allá de lo numérico.

¿Entonces qué es lo matemático, cual es ese objeto de estudio que resulta tan elusivo? Yo diría que las matemáticas estudian todo aquello que es resultado de razonamiento deductivo.

De hecho el método matemático avala esta definición de las matemáticas. El método consiste en empezar con cualesquiera axiomas y obtener todos los teoremas que se puedan obtener por deducción a partir de los primeros. Así que matemáticas puede ser cualquier cosa que se obtenga por deducción a partir de unos axiomas.

Esto no quiere decir que el método deductivo sea el único con el que se puede trabajar en matemáticas. La inducción es importantísima, y no me estoy refiriendo al axioma de inducción que se utiliza en demostraciones, sino a la generalización y obtención de conjeturas a partir de un cierto número de casos particulares. Pero la inducción es solo un método de trabajo, mientras que la deducción es quien tiene la última palabra. La conjetura es culpable hasta que no se demuestre rigurosamente lo contrario. Solo después puede pasar una prueba sin concesiones puede llegar a ser un teorema.

Volviendo a darle vueltas al objeto de la matemática, no deja de maravillarme, cuando pienso en ello, que un mundo tan rico exista solo en nuestras cabezas y no sea un mero reflejo de lo que hay fuera de ella (¿Alguien piensa que los números transfinitos, más allá de los dos primeros, están por ahí fuera?).

Las matemáticas comparten con la ingeniería en que son ciencias de lo artificial, de aquello que no existe antes de que sea concebido.

Quiero subrayar que al igual que en ingeniería hay unas máquinas que se diseñan, bien sea por su utilidad o por su belleza, y otras que no, en matemáticas también hay una selección arbitraria del campo de estudio. Las combinaciones de axiomas posibles son infinitas, pero solo unas pocas se escogen y desarrollan para ver a qué teoremas dan lugar. Qué combinaciones de axiomas se estudian y cuales no dependen del gusto de los matemáticos o de las necesidades que impone una determinada aplicación.

Las ciencias naturales imponen su tema de estudio por su simple presencia física. La gravedad nos ata al suelo o los microbios nos hacen enfermar, pero las matemáticas aparecen a partir de una construcción mental que no estaba antes, pero una vez que aparece en nuestras cabezas nos maravilla y nos empuja a continuar su estudio.

No hay que olvidar que, como toda ingeniería, las matemáticas son útiles. Nacen por su utilidad, porque el pensamiento deductivo necesita de toda una batería especial de instrumentos para avanzar, y se han convertido en tan importantes para toda ciencia e ingeniería humanas que ni siquiera se piensa en ello. Pero sin matemáticas no se puede pasar de una ciencia y una tecnología primitivas.

La razón es obvia una vez que uno piensa en ello. El instrumento de la inteligencia es el pensamiento y las matemáticas es la ingeniería del pensamiento deductivo. Sin deducción, la pata del empirismo inductivo no se sostiene sola.

A veces se nos olvida que las matemáticas es una ciencia de lo artificial porque su estudio se persigue sin buscar una utilidad, y la verdad es que es una ingeniería un poco extraña. Las matemáticas puras son como la construcción de bellas maquinarias por la simple belleza de su mecanismo.

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Predicción y Bolsa

La paradoja de la predicción que se muerde la cola nos enseña que si tienes información para adivinar sucesos del futuro, mejor te guardas esa información para ti, porque si la haces pública los demás responderán a esa información e invalidarán tu predicción.

La moraleja es automáticamente aplicable a la Bolsa, y en general a cualquier mercado que dependa de las expectativas del futuro.

Hay gente que piensa que la cotización de las acciones de empresas que operan en Bolsa, como todo sistema estadístico, sigue unas leyes matemáticas que son en principio susceptibles de ser analizadas y encontradas. No digo que no, y sería una buena manera de hacerse rico con las matemáticas. Casi cualquier predicción correcta que se haga sobre la bolsa se puede utilizar para hacer dinero.

Pero quien quiera hacerse rico con la bolsa y las matemáticas ha de guardarse mucho de hacer público cualquier conocimiento que consiga. Si tiene credibilidad habrá otros inversores y especuladores _arbitristas es la palabra correcta_, que aprovecharán ese conocimiento para hacer dinero. Sacarán dinero de la mina hasta agotarla, es decir, hasta que las cotizaciones hayan cambiado tanto que la predicción realizada ya no se cumpla y no se pueda hacer dinero con ese conocimiento.

Como en el caso de la paradoja anterior, hacer pública una predicción puede anularla, porque los demás actores cambian su comportamiento de acuerdo con la predicción.

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